Question

在△ABC中，∠A=75°，∠B=35°，D是边BC上一点，BD=2CD．求证：AD²=（AC+BD）（AC-CD）．

Answer 1

证明：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，
∵∠BAC=70°，
∴∠CEA=∠CAE=∠ACB=35°=∠ABC，
∴△CAE∽△AEB，
∴AE²=AC•BE，
即AB²=AC（AC+BC）①，
设F是BD的中点，连接AF．
则CD=DF=FB．
在△ACF、△ADB中，由中线的性质分别得
AC²+AF²=2CD²+2AD²，②
AD²+AB²=2DF²+2AF²．③
由式②、③得2AC²+AB²=6CD²+3AD²．④
将式①代入式④得3AC²+AC•BC=6CD²+3AD²．
将BC=3CD代入上式得AC²+AC•CD=2CD²+AD²．
故AD²=AC²+AC•CD-2CD²=（AC+2CD）（AC-CD）=（AC+BD）（AC-CD）．
分析：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，即可证得△CAE∽△AEB，从而得到AE²=AC•BE，即AB²=AC（AC+BC），然后根据三角形的中线的性质，即可对AC（AC+BC）变形，即可证得．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形中线的性质，正确对所求证的式子进行变形是解决本题的关键．