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    （2011•绍兴县模拟）已知菱形OABC中，A（0，5），B（3，1），连接AC交x轴于M，线段OA上有一动点P，以每秒1个单位的速度从点O出发向线段的另一端点A运动，到点A后停止运动，运动时间为t秒，过P作PE⊥AC交AB于E，连接PB、BM（如图1）
    （1）写出点C、M的坐标；
    （2）证明△BME为直角三角形？
    （3）连接PB，若∠PBM=∠OAB，求tan∠ABP的值；
    （4）如图2，若在线段OC上有一点Q与点P同时从点O出发，以相同的速度向点C运动．问是否存在t的值，使△PQE为等腰三角形，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）C与B的横坐标相等，则C的横坐标等于B的横坐标，若过B作y轴的垂线于X，在直角△ABX中，利用勾股定理即可求得AB的长，则BC的长度可以求得，从而求得C的纵坐标；
    然后利用待定系数法即可求得AC的解析式，进而求得M的坐标；
    （2）根据AC是菱形OABC的对称轴，根据对称性可以证得∠EBM=∠AOM=90，即可得到△BME是直角三角形；
    （3）根据对称的性质，可以证得∠APB=90°，即可求得B的坐标．则利用正切函数的定义求解；
    （4）根据对称的性质可得：PE⊥AC，则∠QPB=90°，则若△PQE为等腰三角形，只可能是：PE=PQ．根据△APE∽△AOB和△OPQ∽△OAC，用t表示出PE，PQ的长，从而得到一个关于t的方程，即可求解．
    解答：解：（1）C（3，-4），M（
    5
    3
    ，0）；
    （2）△BME是直角三角形，
    ∵四边形OABC是菱形，
    ∴直线AC是它的对称轴．
    ∵PE⊥AC
    ∴点P和点E，点O与点B都关于AC对称．
    ∴∠EBM=∠AOM=90°．
    ∴△BME是直角三角形．
    （3）连接OE，
    由对称性得：∠PBM=∠EOM．
    ∵∠PBM=∠OAB，∠APB=∠AEO，
    ∴∠EOM=∠OAB
    ∵∠EOM+∠EOA=90°
    ∴∠OAB+∠EOA=90°
    ∴∠APB=∠AEO=90°．
    ∵B（3，1）
    ∴OP=1，从而AP=4
    ∴tan∠ABP=
    4
    3
    ．
    （4）如图2，连接OB，由题意知：OP=OQ，∠POB=∠QOB
    ∴OB⊥PQ
    由四边形OABC是菱形，知OB⊥AC，PQ∥AC．
    ∵PE⊥AC，
    ∴∠QPE=90°
    △PQE为等腰三角形，只可能是：PE=PQ．
    由△APE∽△AOB得：PE=
    		10
    (5-t)
    5
    ；
    由△OPQ∽△OAC得：PQ=
    3
    		10
    t
    5
    ；
    ∴
    		10
    (5-t)
    5
    =
    3
    		10
    t
    5
    ，
    解得：t=
    5
    4
    ．
    即：当t=
    5
    4
    时，△PQE是等腰三角形．
    点评：本题考查了菱形的性质，正确应用菱形是轴对称图形，利用轴对称的性质是解题关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•绍兴县模拟）如图，菱形ABCD的周长为16，以AB为一边画等边△ABE，点E、D在直线AB的同侧，在AC上找一点P，使EP+DP最小，则这个最小值为
    4
    4
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2011•绍兴县模拟）阅读材料：
    小明在做课本阅读材料中的一个拼图游戏“对于任意剪一个三角形纸片，把这个三角形纸片剪2刀，分成3块，再把它们拼成一个长方形．”时遇到了困难，经提示他想到从特殊到一般的数学思想，于是他先剪了一个直角三角形纸片，把这个直角三角形纸片沿中位线剪1刀，分成2块（如图1），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的矩形．
    解决问题：（请在图中画出分割线及拼成的图形）

    （1）请你在图2中用类似的方法把三角形剪一刀分成2块，然后拼成平行四边形；
    （2）请你在图3中把三角形剪两刀分成3块，然后拼成矩形；
    （3）应用拓展：
    如图4是一个正方形纸片，把这个正方形纸片剪2刀，分成3块，再拼成一个与原正方形面积相等的三角形，且该三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形（给出两种不同的方案）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•绍兴县模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G，且EG⊥AB．
    （1）求证：直线AB是⊙O的切线；
    （2）若EF=2FG，AB=12
    		3
    ，求图中阴影部分的面积；
    （3）若EG=9，BG=12，求BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•绍兴县模拟）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：
    （1）最大角是最小角的两倍（如图1中，∠A=2∠B，且∠A为最大角，∠B为最小角）；
    （2）最大角是最小角的三倍（如图2中，∠A=3∠B，且∠A为最大角，∠B为最小角）；
    若存在，求出该三角形三边长；若不存在，请说明理由．（下列各图供探索用）

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