Question

11．阅读理解：
学习了三角形全等的判定方法：“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究．
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D．
初步探究：
如图1，已知AC=DF，∠A=∠D，过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB＜CH，CB=CH，CH＜CB＜CA，”三种情况进行探究．

深入探究：
第一种情况，当BC＜CH时，不能构成△ABC和△DEF．
第二种情况，（1）如图2，当BC=CH时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据HL或AAS，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第三种情况，（2）当CH＜BC＜CA时，△ABC和△DEF不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC和△DEF，使△DEF和△ABC不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．
（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使△ABC≌△DEF． 除了上述三种情况外，BC边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC≌△DEF？写出结论，并利用备用图证明．

Answer 1

分析 （1）根据 HL或AAS，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）如图1所示：以C或F为圆心，BC的长为半径画弧，分别交AM，DN与B，E，则△ABC与△DEF不全等；
（3）当BC≥CA时，也能使△ABC≌△DEF，①当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，②当BC＞CA时，在射线AM上取点B，使BC＞CA，连接BC，以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF，过点F作FG⊥DE于点G，证明△CAH≌△FDG（AAS），得到CH=FG，通过Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），得到∠CBA=∠FED，证得△ABC≌△DEF（AAS）．

解答 解：（1）解：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据 HL或（AAS），可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
故答案为；HL或AAS；

（2）如图1所示：

（3）当BC≥CA时，也能使△ABC≌△DEF，
证明：①当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，
根据AAS易证两三角形全等，
②当BC＞CA时，在射线AM上取点B，使BC＞CA，连接BC，
以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF，
过点F作FG⊥DE于点G，
在△CAH和△FDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AHC=∠DGF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△CAH≌△FDG（AAS），
∴CH=FG，
在Rt△CBH和Rt△FEG中，$\left\{\begin{array}{l}CH=FG\\ CB=FE\end{array}\right.$
∴Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），
∴∠CBA=∠FED，
在△ABC和△EFD中，$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}∠CBA=∠FED\\∠A=∠D\\ AC=DF\end{array}\right.\end{array}$
∴△ABC≌△DEF（AAS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．