Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，若以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）请在抛物线对称轴上求点M，使得∠BMC=90°．

Answer 1

解：（1）将点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入可得：，
解得：，
故函数解析式为：y=x²-x-；

（2）∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴OB=PQ，
又∵OB=3，点Q的横坐标为1，
∴点P的横坐标为：4或-2，
当点P的横坐标为4时，则可得点P的纵坐标为：×4²-4-=；
故此时点P的坐标为：（4，）；
当点P的横坐标为-2时，则可得点P的纵坐标为：×（-2）²+2-=；
故此时点P的坐标为：（-2，）．
当P点在（2，-1.5）时，Q点坐标为（1，1.5），也符合题意，
综上可得点P的坐标为：（4，），（1，1.5），（2，-1.5）．

（3）∵点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，-），
∴BC=，
设点M的坐标为（1，y），则可得MB²=（1-3）²+（y-0）²，MC²=（1-0）²+（y+）²，
∵∠BMC=90°，
∴MC²+MB²=BC²，即4+y²+1+（y+）²=，
整理得：2y²+3y-4=0，
解得：y=或y=，
故可得点M的坐标为（1，）或（1，）．
分析：（1）将A、B、C三点的坐标代入，利用待定系数法求解即可得出函数解析式；
（2）根据点Q在函数的对称轴上，可得点Q的横坐标为1，再由PQ=OB，可得出点P的横坐标，结合函数解析式可得出点P的坐标．
（3）设点M的坐标为（1，y），然后在RT△BMC中利用勾股定理，MC²+MB²=BC²，然后解出y的值即可得出点M的坐标．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及了两点间的距离、待定系数法的运用、及平行四边形的性质，难点在第二、第三问，关键是将所学的基础知识系统化，达到融会贯通的层次．