Question

已知，如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．请你判断线段AD与AG有什么关系？并证明．

Answer 1

分析：线段AD与AG的数量关系相等，位置关系是垂直，理由为：由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BHF与三角形CHE相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG，∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG与AD垂直．

解答：解：线段AD与AG的数量关系为AD=AG，位置关系是AD⊥GA，理由为：
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，又∠BHF=∠CHE，
∴△BHF∽△CHE，
∴∠ABD=∠ACG，
在△ABD和△GCA中
∵

AB=CG ∠ABD=∠ACG BD=CA

，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA，∠ADB=∠GAC，
又∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，
∴∠AED=∠GAD=90°，
∴AD⊥GA．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．