Question

求证：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33．
x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵．

Answer 1

分析：33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．对x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵进行因式分解，先提取公因式（x+3y），再利用十字相差法，平方差公式逐步进行分解，最后得到最简分式．问题得以解决．

解答：解：
原式=（x⁵+3x⁴y）-（5x³y²+15x²y^3）+（4xy⁴+12y⁵）
=x⁴（x+3y）-5x²y²（x+3y）+4y⁴（x+3y）
=（x+3y）（x⁴-5x²y²+4y⁴）
=（x+3y）（x²-4y²）（x²-y²）
=（x+3y）（x-2y）（x+2y）（x+y）（x-y）
当y=0时，原式=x⁵≠33；
当y≠0时，x+3y、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而33不可能分解为3个以上不同因数的积
∴x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33．

点评：本题考查的是提取公因式法、平方差公式因式分解．解决本题的关键是将x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵分解为四个以上不同因数的积．