Question

如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）试说明CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；
（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△BCF和△ECH中，
∵，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH；

（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM是平行四边形，理由如下：
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形；

（3）∵四边形ACDM是平行四边形，AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形，
∴AM=AC=，
∵∠A=45°，
∴AC边上的高=1
∴四边形ACDM的面积=1×=．
分析：（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM是平行四边形；
（3）由（2）可知四边形ACDM是平行四边形，又因为AC=CD，所以四边形ACDM是菱形，利用勾股定理求出边AC上的高，根据菱形的面积公式计算即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质、菱形的面积公式运用，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．