Question

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF．
（1）试猜想△ECF的形状，并说明理由．
（2）若AB=10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：△ECF是等边三角形．
证明：连接AC，
∵∠B=60°，
∴AC=AB=CD，∠D=∠CAE=60°
又∵AE=FD，
∴△CDF≌△CEA（SAS），
∴CE=EF，∠ACE=∠DCF，
而∠DCF+∠FCA=60°，
∴∠ACE+FCA=60°=∠ECF，
∴△ECF是等边三角形．
（2）存在．
很明显当CE⊥AB时长度最小，
此时CE=BCsin∠B=5，
∴最小周长=15．
分析：（1）连接AC，从而可证明△CDF≌△CEA，这样可得出∠ECF=60°，CE=CF，从而可判断△ECF是等边三角形．
（2）△ECF的边长最短时周长最小，求出CE的最小值即可得出答案，很明显当CE⊥AB时长度最小，这样根据∠B=60°即可得出答案．
点评：本题考查菱形的性质及全等三角形的判定，有一定的难度，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，另外第二问的最小值问题，需要用到垂线段最短的知识．