Question

（2012•福田区二模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是

11

3

．

Answer 1

分析：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．

解答：解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=1，
∴DE=

x(x+2)

，
∴△CDE∽△AOE，
∴

CD

AO

=

CE

AE

，
即

1

2

=

x+1

2+ x(x+2)

，
解得x=

2

3

，
S_△ABE=

BE×AO

2

=

2×( 2 3 +1+2)

2

=

11

3

．
故答案为：

11

3

点评：本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．