Question

已知Rt△ABC外切于⊙O，E、F、H为切点，∠ABC=90°，直线FE、CB相交于D点，连接AO、HE、HF，则下列结论：①∠EFH=45°；②∠FEH=45°+∠FAO；③BD=AF；④DH²=AO•DF．其中正确结论的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：连接OE，OH，OF，OB，
①由切线的性质和四边形的内角和即可判定；
②同①的方法得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圆周角定理即可得到证明结论正确；
③根据已知条件知道四边形OEBH是正方形，然后证明△BDE≌△FAO，然后即可题目结论；
④根据已知条件可以证明△DFH∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例和已知条件即可证明结论正确．
解答：解：①中，连接OE，OH，
则OE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠EOH=90°，
∴∠EFH=∠EOH=45°，正确；
②中，同①的方法得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根据圆周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO，正确；
③中，连接OF，由①得四边形OEBH是正方形，则圆的半径=BE，
即OF=BE，
又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
则△BDE∽△FAO，
得BD=AF，正确；
④中，连接OB，根据两个角对应相等得△DFH∽△ABO，则DH•AB=AO•DF，又AB=DH，所以结论正确．
故选D．
点评：此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，综合性比较强．