Question

将数字1，2，5，4，6填入图中的小圆圈中．从1开始顺时针依次数两个数字可产生5个两位数12，25，54，46和61．从1开始逆时针依次数两个 数字可产生另5个两位数16，64，45，52和21．
（1）验证：12²+25²+54²+46²+61²=16²+64²+45²+52²+21²．
（2）对任意5个不等的非零数字a，b，c，d，e，可以生成10个两位数ab，bc，cd，de，ea和ae，ed，dc，cb，ba，请证明：ab²+bc²+cd²+de²+ea²=ae²+ed²+dc²+cb²+ba²．
（3）写出10个彼此不等的两位数，使得其中5个两位数的平方和等于其余5个两位数的平方和．

Answer 1

解：（1）∵12²+25²+54²+46²+61²=144+625+2916+2116+3721=9522，
16²+64²+45²+52²+21²=256+4096+2025+2704+441=9522，
∴12²+25²+54²+46²+61²=16²+64²+45²+52²+21²；

（2）证明：∵ab²+bc²+cd²+de²+ea²=（10a+b）²+（10b+c）²+（10c+d）²+（10d+e）²+（10e+a）²
=101（a²+1b²+c²+d²+e²）+20（ab+bc+cd+de+ea），
ae²+ed²+dc²+cb²+ba²=（10a+e）²+（10e+d）²+（10d+c）²+（10c+b）²+（10b+a）²
=101（a²+1b²+c²+d²+e²）+20（ab+bc+cd+de+ea），
∴ab²+bc²+cd²+de²+ea²=ae²+ed²+dc²+cb²+ba²；

（3）满足题意的10个数为：23，34，45，56，67，76，65，54，43，32．
分析：（1）分别计算12²+25²+54²+46²+61²，16²+64²+45²+52²+21²，再比较结果；
（2）将两位数表示为10a+b，其它数依此类推，利用完全平方公式分别计算等式左右两边，并进行比较，证明结论；
（3）根据（2）的结论，写出其中5个两位数，再将这5个两位数分别交换个位，十位的位置，得出另外5个数即可．
点评：本题考查了数字的变化规律．关键是根据题意，由特殊到一般，得出规律，再用完全平方公式证明结论．