Question

锐角△ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM，垂足为K和M，
求证：四边形AKNM的面积等于△ABC的面积．

Answer 1

证明：过N点作AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，
∵∠BAN=∠NAF，
∴NE=NF，AN=AN，BN=CN，
∴Rt△AEN≌Rt△AFN，
∴AE=AF，
∴Rt△BEN≌Rt△FCN，
∴BE=CF，
∴2AE=AB+AC，
又∵△AKL∽△AEN，得到AE：AK=NE：KL，
∴AE=，代入①式得到，
2×=AB+AC，
即2AK•NE=（AB+AC）•KL②
②式两边都乘以2之后，左边是四边形AKNM的面积，右边是三角形ABC面积，
由此可得四边形AKNM的面积等于△ABC的面积．
分析：（1）过N点作AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，易知AE=AF，由三角形全等易知BE=CF，从而可以得到2AE=AB+AC①
（2）由△AKL与△AEN相似，得到AE：AK=NE：KL，所以AE=AK•，代入①式得到2AK•NE=（AB+AC）•KL②
②式两边都乘以2之后，左边是四边形AKNM的面积，右边是三角形ABC面积，由此得证
点评：此题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定，相似三角形的判定等，题目综合性较强．