Question

已知抛物线y=ax²-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-

1

3

x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

Answer 1

分析：（1）在抛物线y=ax²-2x+c中，已知对称轴x=-

b

2a

=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．
（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．
（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．

解答：解：（1）抛物线y=ax²-2x+c中，对称轴x=-

b

2a

=-

-2

2a

=1，∴a=1；
将点A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴点C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=

10

；
CE=

2

、BC=3

2

、BE=2

5

；
∴

OD

CE

=

OB

BC

=

BD

BE

；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S_△BOE=

1

2

×BO×|y_E|=

1

2

×3×4=6；
∴S_△BDP=

1

2

×BD×h=S_△BOE=6，即 h=

12

10

．
在y轴上取点M，过点M作MN⊥BD于N，使得MN=h=

12

10

；
在Rt△MND中，sin∠MDB=

3

10

，且 MN=

12

10

；则 MD=

MN

sin∠MDB

=4；
∴点M（0，-3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN，如右图，则 直线l：y=-

1

3

x-3或y=-

1

3

x+5，联立抛物线的解析式有：

y=- 1 3 x-3 y=x2-2x-3

或

y=- 1 3 x+5 y=x2-2x-3

解得：

x1=0 y1=-3

、

x2= 5 3 y2=- 32 9

、

x3= 5+ 313 6 y3= 85- 313 18

、

x4= 5- 313 6 y4= 85+ 313 18

∴当点P的坐标为（0，-3）、（

5

3

，-

32

9

）、（

5+ 313

6

，

85- 313

18

）、（

5- 313

6

，

85+ 313

18

）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．

点评：该题涉及到抛物线解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法等重点知识；最后一题中，由于BD不与x轴、y轴垂直，给解答带来了难度，但通过将BD边上的高进行适当转化，得出过点P且与BD平行的直线l的解析式是突破题目的关键．