Question

求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值．

Answer 1

答案：略
解析：

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：PD＋PE是定值． 证法1：如图所示， 连接AP，过点B作BF⊥AC，垂足为F． ∵，，． 又∵， ∴． ∵AB=AC，∴PD＋PE=BF，即PD＋PE为定值． 证法2：如图所示，过点B作BF⊥AC，垂足为F，过点P作PG⊥BF，垂足为G． ∵BF⊥AC，PE⊥AC，PG⊥BF， ∴∠FGP=∠GFE=∠PEF=90°， ∴四边形PEFG是矩形． ∴PE=GF，PG∥EF． ∴∠GPB=∠C． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠GPB=∠ABC． ∵PD⊥AB，PG⊥BF， ∴∠PDB=∠PGB=90°． 在△BDP和△PGB中， ∴△BDP≌△PGB， ∴GB=PD， ∴PD＋PE=BF． 证法3：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作GC⊥PD，交DP的延长线于G． ∵GC⊥DP，PD⊥AB，CF⊥AB， ∴∠G=∠CFD=∠GDF=90°． ∴四边形CGDF是矩形， ∴CG∥AB，GD=CF， ∴∠PCG=∠B． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠PCG=∠ACB． ∵PE⊥AC， ∴∠PEC=90°． ∴∠PEC=∠G． 在△PEC和△PGC中， ∴△PEC≌△PGC， ∴PE=PG． ∴PD＋PE=PG＋PD=CF，即PD＋PE为定值．

提示：

这种题首先要探求出这个定值，由于P是底边BC上一个动点，那么它的极端位置当然是在端点上了，不妨设点P运动到B点，此时PD=0，PE为腰AC上的高(高是不变量)，那么只需证明PD＋PE等于一腰上的高就可以了．