Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为

 

：
（2）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
（3）连接AC，BC，点C在⊙O上的运动过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC的最大面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；
（2）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，得出CF=

3

2

，再利用勾股定理计算出OF=

OC2-CF2

=

3 3

2

，则可得到C点坐标；
②由于OC=3，OF=

3

2

，得出∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，从而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．
（3）由△OAB为等腰直角三角形得AB=

2

OA=6

2

，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；

解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案为：45°或135°．
（2）如图：当C在第二象限时，过点C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠ADO=∠CFO，
∴△OCF∽△AOD，
∴

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，
解得：CF=

3

2

，在Rt△OCF中，OF=

OC2-CF2

=

3 3

2

，
∴C点的坐标为（-

3 3

2

，

3

2

），
同理，当C在第一象限时，C点的坐标是（

3 3

2

，

3

2

），
∴C点的坐标为（-

3 3

2

，

3

2

），（

3 3

2

，

3

2

）；
②直线BC为为⊙O的切线，理由如下：
如图：在Rt△OCF中，OC=3，CF=

3

2

，
∴sin∠COF=

CF

OC

=

1

2

，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（3）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=3

2

，
∴CE=OC+OE=3+3

2

，△ABC的面积=

1

2

CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18，
当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9

2

+18．

点评：本题考查了圆的综合题，用到的知识点是切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算是本题的关键．