Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米
（1）求∠DCB的度数及梯形ABCD与△PQR的高？
（2）当t=4时，求S的值；
（3）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）作辅助线：过点A作AE∥CD，AF⊥BC于F，即可求得：四边形ADCE是平行四边形，利用等腰梯形与平行四边形的性质，即可求得AB=AE=BE，则可求得∠B的度数，由三角函数即可求得梯形ABCD的高的值；在等腰三角形PQR中，由三线合一与三角函数的性质，即可求得△PQR的高；
（2）首先判定当t=4时，点B与点Q重合，点P与点D重合，则求△BDC的面积即可；
（3）分别从4≤x＜6与6≤x≤10去分析，求得各自的函数解析式，再分析各种情况下的最大值即可求得答案．

解答：解：（1）过点A作AE∥CD，AF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴EC=AD=2cm，AE=CD=2cm，
∴BE=BC-EC=4-2=2（cm），
∵AB=2cm，AE=2cm，
∴AB=AE=BE，
∴∠B=60°；
∴sin∠B=sin60°=

AF

AB

=

3

2

，
∴AF=

3

cm，
∴梯形ABCD的高为

3

cm；
过点P作PG⊥QR于G，
∵PQ=PR，
∴∠QPG=

1

2

∠QPR=

1

2

×120°=60°，QG=

1

2

QR=

1

2

×6=3cm，
∴tan∠QPG=tan60°=

QG

PG

=

3

，
∴PG=

3

cm，
∴△PQR的高为

3

cm；

（2）当t=4时，CQ=4cm，
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=

3

cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴点D与点P重合，
∴S_△BDC=

1

2

BC•DF=

1

2

×4×

3

=2

3

（cm²）；

（3）当4≤x＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QR，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC sin60°=

3

2

（6-t）
∴同理：MN=

3

2

（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=

1

2

QR•PG-

1

2

BQ•EM-

1

2

CR•FN
=

1

2

×6×

3

-

1

2

×

3

2

（t-4）²-

1

2

×

3

2

（6-t）²
=-

3

2

t²+5

3

t-10

3

，
∵a=-

3

2

＜0，开口向下，
∴S有最大值，
当t=-

5 3

2×(- 3 2 )

=5时，S最大值为

5 3

2

；
当6≤x≤10时，P在线段DA的延长线上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=

1

2

BR=

10-t

2

，TR=

3

2

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

TB•TR=

1

2

×

10-t

2

×

3

2

（10-t）=

3

8

t²-

5 3

2

t+

25 3

2

，
当a＞0时，开口向上，-

b

2a

=10，
∴t=6时，S最大值为2

3

；
综上，t=5时，S最大值为

5 3

2

．

点评：此题考查了等腰梯形，等腰三角形和直角三角形的性质，以及二次函数等知识．此题属于动点问题，难度较大，注意数形结合思想的应用是解题的关键．