Question

2011年在国家央行加息的压力下，某公司决定研制一种新型节能产品并加以销售，现准备在一线城市和二线城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．
若只在一线城市销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为 W_一线（元）（利润=销售额-成本-广告费）．
若只在二线城市销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x² 元的附加费，设月利润为 W_二线（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）当x=1000时，y=______元/件，w_一线；=______元；
（2）分别求出 W_一线，W_二线与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在一线城市销售的月利润最大？若在二线城市销售月利润的最大值与在一线城市销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在二线城市还是在一线城市销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

解：（1）当x=1000时，y=x+150=-10+150=140，
W_一线=（x+150）x-20x-62500=140×1000-20000-62500=57500；
故填：140，57500；　　
（2）依题意，得
w_一线=x（y-20）-62500=x²+130x-62500，
W_二线=（150-a）xx²；
（3）当x==6500时，w_一线最大；
由题意得，6500（150-a）-×6500²=，
解得a₁=30，a₂=270（不合题意，舍去），所以a=30；
（4）当x=5000时，w_一线=337500，w_二线=-5000a+500000．
若w_一线＜w_二线，则a＜32.5；
若w_一线=w_二线，则a=32.5；
若w_一线＞w_二线，则a＞32.5．
所以，当10≤a＜32.5时，选择在二线销售；
当a=32.5时，在一线和二线销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在一线销售．
分析：（1）将x=1000代入y=x+150中求y的值，根据：月利润为 W_一线=（x+150）x-20x-62500，把x=1000代入求值；
（2）根据题意，直接写出 W_一线，W_二线与x间的函数关系式；
（3）根据二次函数的最大（小）值公式，即抛物线的顶点纵坐标，列方程求解；
（4）将x=5000分别代入W_一线，W_二线的函数式，根据题意列不等式，根据a的取值范围答题．
点评：本题考查了二次函数在营销问题中的运用．关键是明确题意，列出相应的二次函数关系式．