Question

我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．
（I）如图（1），连接AO、OC，则有∠B=

1

2

∠1，∠D=

1

2

∠2．∵∠1+∠2=360°∴∠B+∠D=

1

2

×360°=180°，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．
（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．
（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分
∠FDC，求证：AB=AC．

Answer 1

分析：（II）由（I）可知：∠A+∠BCD=180°，又由邻补角的定义，可得∠DCE+∠BCD=180°，继而可证得∠DCE=∠A；
（III）由（II）易证得∠2=∠ABC，又由对顶角相等与圆周角定理，可证得∠1=∠ACB，又因为DE平分∠FDC，即可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，即可证得AB=AC．

解答：（II）解：∠DCE=∠A．
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A；

（III）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评：此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．