已知抛物线y=-$\frac{4}{3}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于C.点D为抛物线的顶点.抛物线的对称轴交x轴于H.OB=3.OC=4．(1)求抛物线的解析式,(2)若点P为对称轴右侧抛物线上一点.连接PA交y轴于点F.过点P作y轴的垂线垂足为N.交抛物线于点Q.求证:4PN=3CF,的条件下.连接QH.点N为x轴上一点.连接QN.且QN=QH.过点N作y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于H，OB=3，OC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为对称轴右侧抛物线上一点，连接PA交y轴于点F，过点P作y轴的垂线垂足为N，交抛物线于点Q，求证：4PN=3CF；
（3）在（2）的条件下，连接QH，点N为x轴上一点，连接QN，且QN=QH，过点N作y轴的平行线交抛物线于点G，连接PD、PG、PN，若∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，求PQ的长．

分析（1）把点B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）设P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），如图1，作PT⊥x轴于T．则OF∥PT，利用平行线截线段成比例来求相关线段的长度，继而证得结论；
（3）如图2，延长GN、PQ交于M，设P点的坐标为（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），对称轴x=1，Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），由坐标求得相关线段的长度，结合锐角三角函数的定义进行解答即可．

解答解：（1）∵OB=3，OC=4，
∴B（3、0）C（0、4），
∵B、C在抛物线上y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c，代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；

（2）设P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
如图1，作PT⊥x轴于T．
∵OF∥PT
∴$\frac{OF}{PT}$=$\frac{OA}{AT}$，即$\frac{OF}{-\frac{4}{3}{t}^{2}+\frac{8}{3}t+4}$=$\frac{1}{t+1}$，
∴OF=-$\frac{4}{3}$t+4，
∴CF=OC-OF=4-（-$\frac{4}{3}$t+4）=$\frac{4}{3}$t，PN=t，
∴4PN=3CF；

（3）如图2，延长GN、PQ交于M，
∴∠M=90°，设P点的坐标为（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），对称轴x=1，
∴Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
∵QN=QH，
∴M（3-2t，P（t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ）  QN=t-2、
∴G（2t-3，-$\frac{16}{3}$t²+$\frac{32}{3}$t）
∴MG=（t-1）²，MP=3t-3．
∵D（1，$\frac{16}{3}$）  DR=$\frac{4}{3}$（t-1）²，PR=t-1，
∴tan∠MPG=$\frac{4}{3}$（t-1），tan∠DPR=$\frac{4}{3}$（t-1），
∴∠DPR=∠MPG，
∵∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，
∴∠DPN=90°，
∴∠RDP=∠MPN．
tan∠RDP=tan∠MPN
$\frac{PR}{DR}$=$\frac{MP}{MG}$即  $\frac{t-1}{\frac{4}{3}（t-1）^{2}}$=$\frac{-\frac{4}{3}（t+1）（t-3）}{3（t-1）}$，
解得t=1+$\frac{\sqrt{37}}{4}$，
则PQ=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

点评主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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