Question

在平面直角坐标系中，以坐标O₁（2，0）为圆心，1为半径画圆，交x轴于A，B两点．过原点O作⊙O₁的切线，
切点为M．
（1）连接MA，求证△MAO₁为等边三角形．
（2）求点M的坐标．
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）求证等边三角形，一般都是用含60°的等腰三角形证明，题中因为圆半径相等易得等腰三角形，又由坐标反应的边长的关系亦容易得60°内角，所以结果易证．
（2）求坐标即要确定其横纵坐标，适当的作垂线将其可视化是必要的，等腰三角形中三线合一易得很多边长，角度关系，又其为等边三角形，各边边长比例更是易确定，利用三角函数可以很容易的表达出各边边长，即得M点坐标．
（3）由∠MOO₁=30°，使得P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似，则A点处的内角为90°或60°．以此建立辅助线，由特殊角30°，60°及已知边长OA=1，则两种情况的P点坐标都易得．

解答：（1）证明：根据题意，如图1所示，

∵M点为⊙O₁切点，
∴MO₁⊥OM，
在Rt△OMO₁中，
∵MO₁=1，OO₁=2，
∴∠MOO₁=30°，
∴∠MO₁O=60°，
∵MO₁=AO₁，
∴△MAO₁为等边三角形．

（2）解：如图2，过点M作MF⊥x轴，垂足为F．

∵⊙O₁圆心O₁的坐标为（2，0），半径为1，
∴A（1，0），B（3，0）．
在Rt△OO₁M中，
∵∠O₁OM=30°，
∴OM=OO1•cos30°=2×

3

2

=

3

，
在Rt△MOF中，
∵OF=OM•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴MF=OM•sin30°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴点M坐标为(

3

2

，

3

2

)．

（3）解：存在．
如图3，过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁，此时Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O，

过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H，此时Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO．
∵∠AOP₁=30°，
∴P1A=OA•tan∠AOP1=tan30°=

3

3

，
∴P1(1，

3

3

)．
②过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H．
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，∠AOP₂=30°，
∴OP2=OA•cos30°=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，
∵OH=OP2•cos∠AOP2=

3

2

×

3

2

=

3

4

，P2H=OP2•sin∠AOP2=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
∴P2(

3

4

，

3

4

)．
∴符合条件的P点坐标有(1，

3

3

)，(

3

4

，

3

4

)．

点评：本题考查了圆切点的性质、含30°直角三角形的性质及利用三角函数解直角三角形的技巧，题目虽涉及圆、动点等问题类型，但其考查内容及技巧都是非常基础的，总体来说是一道非常值得练习的题目．