Question

（2013•石峰区模拟）如图，已知直线L与⊙O相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线l于点D．
（1）若AP=4，求线段PC的长；
（2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数．
（3）在（2）的条件下，试求四边形OADC的面积．（答案可保留根号）

Answer 1

分析：（1）求出AO、OC，根据勾股定理求出OP，即可求出答案；
（2）求出∠B=∠CPD=∠DCP=∠OCB，得出3∠B=90°，求出即可；
（3）连接AC，求出AC、BC，求出△ACB面积，即可求出△BOC面积，求出AD，求出△ABD面积，即可求出答案．

解答：解：（1）∵PA切⊙O于A，
∴∠OAP=90°，
∵AB=6，
∴AO=OC=2，
在Rt△OAP中，AP=4，AO=3，由勾股定理得：OP=5，
∴PC=OP-OC=2；

（2）∵△PAO和△BAD相似，
∴∠B=∠CPD，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=∠DCP=∠CPD，
∴∠BDA=∠DCP+∠CPD=2∠B，
在Rt△BAD中，3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠APO=30°．

（3）∵△BAD中，∠BAD=90°，∠B=30°，AB=6，
∴AD=AB•tan30°=2

3

，
∴△BAD面积是

1

2

AB×AD=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，∠B=30°，
∴AC=3，BC=3

3

，
∴△ABC的面积是

1

2

AC×BC=

1

2

×3×3

3

=4.5

3

，
∵OB=OA，
∴△BOC的面积是

1

2

×4.5

3

=

9

4

3

S_{四边形OADC}=S_△BAD-S_△BOC=

15

4

3

．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，