Question

（1）方程x²+px+1997=0恰有两个正整数根x₁，x₂，则

p

(x1+1)(x2+1)

的值是

 

．
（2）已知k为整数，且关于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的正整数根，则k=

 

．
（3）两个质数a，b恰好是关于x的方程x²-21x+t=0的两个根，则

b

a

+

a

b

=

 

．
（4）方程x²+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于

 

．
（5）已知方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据十字相乘法分解原方程的左边，然后根据质数的定义及根与系数的关系来解答；
（2）与（5）由根的判别式首先大体确定取值，再根据题目要求与根与系数的关系确定取值即可；
（3）根据一元二次方程中根与系数的关系确定a与b的关系式，再由质数的定义确定a与b的取值即可；
（4）根据一元二次方程中根与系数的关系确定关系式，抓住关系式p+q+1=x₁x₂-x₁-x₂+1=（x₁-1）（x₂-1）=1992+1=1993是解题的关键，再由质数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵方程x²+px+1997=0恰有两个正整数根，显然原方程可以化简为（x-a）（x-b）=0，根据十字相乘ab一定为1997的约数，
又∵1997是质数，
∴a=1，b=1997；
∴p=-1998
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=1997，
∴

p

(x1+1)(x2+1)

=

p

x1x2+(x1+x2)+1

=

p

1997-p+1

=

p

1998-p

=

-1998

1998-(-1998)

=-

1

2

；
故答案为：-

1

2

．
（2）∵关于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的根，
∴

△=9×(3k-1)2-4(k2-1)×18＞0 k2-1≠0

，
解得，k≠±1，且k≠3；
∵k为整数，且关于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的正整数根，
∴设两根分别为：a与b，
则ab=

18

k2-1

，a+b=

9k-3

k2-1

，ab＞0，a+b＞0，
∴k²-1=3，
∴k=2．
故答案为：2．
（3）∵两个质数a，b恰好是关于x的方程x²-21x+t=0的两个根，
∴a+b=21，ab=t，
∵a，b是质数，
∴a=2，b=19或a=19，b=2，
∴

b

a

+

a

b

=

19

2

+

2

19

=

365

38

．
故答案为：

365

38

．
（4）设两根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
p+q+1=x₁x₂-x₁-x₂+1=（x₁-1）（x₂-1）=1992+1=1993，
∵把1993分解，1993是质数，不能分解，
不妨假设x₁＞x₂，只能是：
x₁-1=1993，x₂-1=1，
x₁=1994，x₂=2，
∴大根比小根为：

1994

2

=997．
故答案为：997．
（5）∵方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，
∴

△=4(5a+1)2-4(a2-1)×24＞0 a2-1≠0

，
解得，a≠±1，且a≠-5；
∵方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，
∴设两根分别为：a与b，
则ab=

24

a2-1

，a+b=

10a+2

a2-1

，ab＞0，a+b＜0，
∴a²-1=3，
∴a=-2．
故答案为：-2．

点评：此题考查了一元二次方程中根与系数的关系及韦达定理，解题的关键是灵活应用关系式与已知条件进行分析求解．