Question

如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=________°．

Answer 1

48
分析：在等腰△OAC和△OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的内角和求得∠OCD=48°；然后根据角平分线的性质求得∴∠OCA=∠ACD=24°；最后由圆周角定理知：∠ABD=∠AOD，∠OCA=∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，进而求得∠ABD+∠CAO=48°．
解答：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，
∴的度数等于84°，即∠COD=84°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），
∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=48°；
而CA是∠OCD的平分线，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=24°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；
∵∠ABD=∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠DCA=∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ABD=∠CAD，
∴∠ABD+∠CAO=48°；
故答案为：48°．
点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”求得∠COD=84°．