Question

把两个等腰直角三角形△ABC与△DEF如图①摆放，直角顶点D在斜边AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上．
（1）判断线段BF和CD的数量和位置关系．（直接写出结论不需要证明）
（2）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，此时（1）中的结论是否成立？证明你的结论；
（3）如图③，把题目条件改为△ABC与△DEF都是顶角为2α等腰三角形（即∠ACB=∠EDF=2α），（1）中的数量关系仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）延长BF与CD交与点G，易证OD=OF，CO=BO，即可证明△BOF≌△COD，可得∠OBF=∠OCG，BF=CD，即可证明∠CFG+∠OCG=90°，即可解题；
（2）连接OD，OF，OF交BF于点H，延长BF交CD于G，易证OD=OF，CO=BO，即可证明△BOF≌△COD，可得∠OBF=∠OCG，BF=CD，即可证明∠CHG+∠OCG=90°，即可解题；
（3）不成立，新结论为BF=CDtanα．理由：连接OD，OF，OF交BF于点H，延长BF交CD于G，易证

OF

OD

=tanα，

BO

CO

=tanα，即可证明△BOF∽△COD，根据相似三角形对应边比例等于相似比即可解题．

解答：证明：（1）延长BF与CD交与点G，

∵O是等腰直角△DEF斜边EF中点，
∴EF⊥AB，OD=OF，
∵O是等腰直角△ABC斜边AB中点，
∴CO=BO，
∵在△BOF和△COD中，

CO=BO ∠BOF=∠COD=90° DO=FO

∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴∠OBF=∠OCG，BF=CD．
∵∠BFO+∠OBF=90°，∠BFO=∠CFG，
∴∠CFG+∠OCG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BF⊥CD；
（2）连接OD，OF，OF交BF于点H，延长BF交CD于G，

∵O是等腰直角△DEF斜边EF中点，
∴OD=OF，∠DOF=90°，
∵O是等腰直角△ABC斜边AB中点，
∴CO=BO，∠BOC=90°，
∴∠BOC+∠COF=∠DOF+∠COF，即∠BOF=∠COD，
∵在△BOF和△COD中，

BO=CO ∠BOF=∠COD FO=DO

，
∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴∠OBF=∠OCG，BF=CD．
∵∠BHO+∠OBF=90°，∠BHO=∠CHG，
∴∠CHG+∠OCG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BF⊥CD；
（3）不成立，新结论为BF=CDtanα．
理由：连接OD，OC，OC交BF于点H，延长BF交CD于G，

∵O是等腰△DEF底边EF中点，
∴

OF

OD

=tanα，∠DOF=90°，
∵O是等腰△ABC底边AB中点，
∴

BO

CO

=tanα，∠BOC=90°，
∴∠BOC+∠COF=∠DOF+∠COF，即∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴

BF

CD

=

BO

CO

=tanα，
∴BF=CDtanα．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形对应边比例等于相似比的性质，本题中求证△BOF≌△COD是解题的关键．