Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，。
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值。

Answer 1

解：（1）连接OB、OP，
∵且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠CBO，
∴∠BOP=∠POA，
又∵OB=OA，OP=OP，
∴△BOP≌△AOP，
∴∠PBO=∠PAO，
又∵PA⊥AC，
∴∠PBO=90°，
∴直线PB是⊙O的切线；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴
又∵ BC∥OP
∴
∴
∴
∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。