Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与坐标轴分别交于点A、点B、点C，并且∠ACB=90°，AB=10．
（1）求证：△OAC∽△OCB；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P使得△PAC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠CAO=∠BCO，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，得到A（-2，0），B（8，0），解方程组即可得到结论；
（3）设P（3，n），根据两点间的距离得到AC=2$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{（-2-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25+{n}^{2}}$，PC=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，①当AC=AP时，②当AC=CP时，③当AP=CP时，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴△OAC∽△OCB；
（2）∵在y=ax²+bx+4中，当x=0，y=4，
∴OC=4，
∵△OAC∽△OCB，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{4}{OB}$=$\frac{10-OB}{4}$，
∴OB=2或OB=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（3）存在，∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{13}{4}$，
∴抛物线的对称轴为：直线x=3，
∴设P（3，n），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{（-2-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25+{n}^{2}}$，PC=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
∵△PAC为等腰三角形，
①当AC=AP时，即$\sqrt{25+{n}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
此方程无实数根，这种情况不存在；
②当AC=CP时，即2$\sqrt{5}$=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
解得：n=4+$\sqrt{11}$，n=4-$\sqrt{11}$，
③当AP=CP时，即$\sqrt{25+{n}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
解得：n=0，
∴P（3，4+$\sqrt{11}$），（3，4-$\sqrt{11}$），（3，0）．

点评 本题考查了相似三角形的判定，待定系数法确定函数关系式，等腰三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键．