Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）证明：△ABE≌△C₁BF；
（2）证明：EA₁=FC；
（3）试判断四边形ABC₁D的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用全等三角形的判定结合ASA得出答案；
（2）利用全等三角形的性质对边相等得出答案；
（3）首先得出四边形ABC₁D是平行四边形，进而利用菱形的判定得出即可．

解答：（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A₁BC₁，
∴AB=BC₁=A₁B=BC，∠ABE=∠C₁BF，∠A=∠C₁=∠A₁=∠C，
在△ABE和△C₁BF中，

∠A=∠C1 AB=BC1 ∠EBA=∠FBC1

，
∴△ABE≌△C₁BF（ASA）；

（2）证明：∵△ABE≌△C₁BF，
∴EB=BF．
又∵A₁B=CB，
∴A₁B-EB=CB-BF，
∴EA₁=FC；

（3）答：四边形ABC₁D是菱形．
证明：∵∠A₁=∠C=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∠A₁=∠C=∠ABA₁=∠CBC₁．
∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，
∴四边形ABC₁D是平行四边形
∵AB=BC₁，
∴四边形ABC₁D是菱形．

点评：此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．