Question

过A，B，C三点，能否确定一个圆？如果能，请作出圆，并写出作法；如果不能，请用反证法加以证明．

Answer 1

解：（1）如果A、B、C三点不在同一条直线上，就能确定一个圆，
作法：
①连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；
③以O为圆心，OB为半径作圆．⊙O就是过A、B、C三点的圆．

（2）如果A、B、C三点在同一条直线上，就不能确定一个圆，
假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆心为O，
由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，
并且在线段BC的垂直平分线l″上，
即点O为′与l″的交点，
这与“过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以，过同一条直线上的三点A、B、C不能作圆．
分析：（1）根据确定圆的条件及三角形外接圆的作法作图即可．
（2）利用反证法进行证明即可．
点评：此题比较复杂，考查的是确定圆的条件及反证法，涉及面较广，但难度适中．