Question

在平面直角坐标系中，已知x轴上两个点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧，且A、B两点间的距离小于7个单位长度．
（1）求m的取值范围；
（2）C是AB的中点且为整点（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），若D为整点，当△BCD为等腰直角三角形时，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）先由同一数轴上两点间的距离公式得出AB=|2m-10|，再根据AB＜7及点A在原点左侧分别列出不等式，求解即可；
（2）先由中点坐标公式得出C点坐标为：（m-1，0），再根据C为整点得出m=2，BC=3，然后分三种情况对△BCD进行讨论，结合D为整点，即可求出点D的坐标．

解答：解：（1）∵A（2m-6，0），B（4，0），
∴AB=|2m-6-4|=|2m-10|．
∵A、B两点间的距离小于7个单位长度，
∴|2m-10|＜7，
∴-7＜2m-10＜7，
∴

3

2

＜m＜

17

2

，
又∵点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧，
∴2m-6＜0，
∴m＜3，
∴

3

2

＜m＜3；

（2）∵C是AB的中点且为整点，
∴C点横坐标为：

2m-6+4

2

=m-1，且m-1为整数，
∴m为整数，
由（1）知

3

2

＜m＜3，
∴m=2，
∴C（1，0），BC=4-1=3．
当△BCD为等腰直角三角形时，分三种情况：
①如果∠DCB=90°，DC=BC，则D₁（1，3），D₂（1，-3）；
②如果∠DBC=90°，DB=CB，则D₃（4，3），D₄（4，-3）；
③如果∠CDB=90°，CD=BD，则D在BC的垂直平分线上，则D点的横坐标为：

4+1

2

=

5

2

，不是整数，不合题意，舍去．
综上，可知所求点D的坐标为：D₁（1，3），D₂（1，-3），D₃（4，3），D₂（4，-3）．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，同一数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式，难度中等，其中（2）对△BCD分三种情况进行讨论是解题的关键．