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    如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。

    （1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。

    ① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=      

    ② 若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数

    （2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

     

    【答案】

    解：（1）①900。

     

     

    ②如图，连接AB、OA、OB．

     

     

    在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。

    ∴∠AOB=90°。

    当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；

    当点P在劣弧 AB 上时（如图2），

    ∠APB=（360°－∠AOB）=135°。

    （2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

    第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，

     

     

    ∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

    ∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

    第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，

     

     

    ∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），

    ∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。

    第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，

     

     

    ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

    ∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。

    第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，

     

     

    ∠APB=∠MAN+∠ANB。

    【解析】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。

    （1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。

    ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。

    （2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

     

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