Question

已知：在?ABCD中，AC、BD相交与点O，延长DC至E，使CE=DC，连接AE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：四边形ABEC为平行四边形．
（2）试判断OF与AB的关系，并给予证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB∥CD，且AB=CD（平行四边形的对边平行且相等）．
又∵点E在DC的延长线上，CE=DC，
∴AB∥CE，AB=CE，
∴四边形ABEC为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

（2）解：OF∥AB，且OF=AB．理由如下：
∵点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，
∴点O是线段AC的中点．
又∵点F是平行四边形ABEC的两条对角线的交点，
∴点F是线段BC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥AB，且OF=AB．
分析：（1）由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEC为平行四边形．
（2）根据“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OF是△ABC的中位线，所以OF∥AB，且OF=AB．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．