Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，已知点B（4，2），D（-1，0），且一次函数y=kx-1的图象平分等腰梯形ABCD的面积．
（1）求等腰梯形ABCD的中位线长及一次函数y=kx-1中k的值．
（2）若关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

Answer 1

分析：（1）过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，根据等腰梯形的性质可得OD=AE，从而可得出AD的长，这样即可求出中位线的长，然后判断出一次函数经过点P（2，1），利用待定系数法求解k的值即可．
（2）分类讨论，①当m=0时，②当m≠0时，1°抛物线经过原点，2°抛物线不经过原点，分别得出判别式应满足的条件，从而得出m的值．

解答：解：（1）过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OD=AE，
∴AD=OD+OE+AE=2OD+BC=6，
故中位线的长度=

1

2

（BC+AD）=5；
又∵Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴△ODC和△EAB的面积相等，
由图可知P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积，
故可得一次函数y=kx-1的图象经过点P，
∵点B（4，2），O（0，0），
∴P点坐标为（2，1），
代入得：2k-1=1，
解得：k=1．

（2）∵y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，
分情况讨论：①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点，分别是：（0，1），（1，0）；
②当m≠0时，函数为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1），
1°若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=-

1

2

，此时△=（m+1）²＞0，符合题意；
③若抛物线不经过原点，则此时△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，
解得：m₁=m₂=-1；
综述m的值为m=0或-

1

2

或-1．

点评：此题考查了一次函数及等腰梯形的知识，解答本题第一问的关键在于判断出一次函数图象经过点P，第二问注意分类讨论，不要漏解，难度较大．