Question

如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．

（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；

（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；

（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，

解得m=﹣1，

∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，

∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，

∴y=2x，

又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），

∴B（1，2），

（2）∵k=2，

∴≥kx为≥2x，

根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．

（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，

②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），

∵A（﹣1，﹣2）

∴OA=

∴t²+=5，则t⁴﹣5t²+4=0，

∴t²=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，

t²=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，

∴不存在符合条件的点C．