Question

已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别是A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D（4，7）是CB的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB的路线移动，移动的时间是秒t，设△OPD的面积是S．
（1）求直线BC的解析式；
（2）请求出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）求S的最大值；
（4）当9≤t＜12时，求S的范围．

Answer 1

分析：（1）先设出BC的解析式，再分别将B、C的坐标代入解析式，进而得出所求；
（2）用t表示出P点坐标，进而表示P到OD的距离，再根据D点坐标求出OD长，然后表示出△OPD的面积；
（3）根据（2）中已经表示出的S与t的函数关系式，根据函数图象的随自变量的变化而变化的关系求出最大值；
（4）根据（2）中已经表示出的S与t的函数关系式和自变量的取值范围得出所求．

解答：解：（1）直线BC过点C（0，4），
设直线BC解析式为y=kx+4，
将B（8，10）代入得y=

3

4

x+4；

（2）当0＜t≤8时（2分）
过D作DE⊥OA于E点，则OP=t，DE=7
S=

1

2

OP×DE=

7t

2

（3分）
当8＜t≤18时（4分）
过D作GH⊥BA于H点，交y轴于点G，则DG=4，DH=4
AP=t-8，（5分）
BP=18-t（6分）
S=S_梯形OABC-S_△OCD-S_△OAP-S_△DPB
=

4+10

2

×8-

1

2

×4×4-

1

2

×8（t-8）-

1

2

（18-t）×4（7分）
=-2t+44；（8分）

（3）当0＜t≤8时
当t=8时S的最大值是S=

7t

2

=

7×8

2

=28（9分）
当8＜t≤18时
S随着t的增大而减少，所以S无最大值（10分）
所以当t=8时S的最大值是28．（11分）

（4）9≤t＜12时
-24＜-2t≤-18
20＜-2t+44≤26
即20＜S≤26．（12分）

点评：本题考查了二次函数的应用，是典型的数形结合的题目．