Question

16．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，于是得到结论；
（2）当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长=$\frac{50•π•6}{180}$=$\frac{5π}{3}$，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长=$\frac{130•π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等．

解答 （1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∴∠1+∠PCA=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；

（2）解：∵∠P=40°，
∴∠AOC=50°，
∵AB=12，
∴AO=6，
当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=$\frac{50•π•6}{180}$=$\frac{5π}{3}$，
当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=$\frac{130•π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=$\frac{230•π•6}{180}$=$\frac{23π}{3}$，
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{13π}{3}$或$\frac{23π}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，弦切角定理，弧长的求法，熟练掌握定理和计算公式是解题的关键．