Question

9．定义：如图1，过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两直线之间的距离OA叫做△ABC的“水平宽”，中间直线处于△ABC内部的线段BD的长度叫做△ABC的“铅垂高”．
性质：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
理解：例如：如图1，OA=3，BD=1.6，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×1.6=2.4
应用：（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（3，4），D（3，1）．则△ABC的面积为6；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c过A（4，0），C（0，4）两点，点M在第一象限的抛物线上运动，在点M的运动过程中，求△AMC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图4，点P在抛物线上，
①求以AC为底边的等腰三角形PAC的顶点P的坐标；
②直接写出以AC为底边的等腰三角形PAC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题目所给的三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，求出△ABC的面积；
（2）先将A、C代入解析式求出二次函数的解析式，作MD⊥x轴，交AC于点D，求出MD的长度，然后表示出三角形AMC的面积，求出最大面积；
（3）①根据题意可知，点P在∠AOC的平分线OL上，也在线段AC的垂直平分线上，得出直线的OL的解析式，然后代入二次函数解析式，求出点的坐标即可；
②根据题目中所给的求面积的方法，求出三角形的面积．

解答 解：（1）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（4-1）×4=6；

（2）把点A（4，0），C（0，4）代入y=-x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4，
直线AC的解析式为y=-x+4，
作MD⊥x轴，交AC于点D，
则MD的长度为：
-x²+3x+4-（-x+4）=-x²+4x，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x）×4=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
当x=2时，S_△ABC最大，
即△ABC的面积的最大值为8；

（3）①由题意可知，点P在∠AOC的平分线上，也在线段AC的垂直平分线上，
此直线LO的解析式为y=x，
把y=x代入y=-x²+3x+4得：x=-x²+3x+4，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
故点P的坐标为（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）；

②当点P的坐标为（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）时，
S_△APC=$\frac{1}{2}$×4×[1+$\sqrt{5}$-（3-$\sqrt{5}$）]=4$\sqrt{5}$-4；
当点P的坐标为（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）时，
S_△APC=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{5}$-1）×（4-$\frac{4-4\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$）=4$\sqrt{5}$+4．
故答案为：6．

点评 本题结合三角形面积的求法考查了二次函数以及一次函数的综合应用，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，弄清水平宽和铅垂高的意义是解答本题的关键．