Question

2．已知 x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的两根，不解方程求：
（1）x₁³x₂+x₁x₂³；
（2）2x₁²+x₁x₂-2x₂²．

Answer 1

分析 （1）先求出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用x₁³x₂+x₁x₂³=x₁x₂（x₁²+x₂²）=x₁x₂[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]求解即可，
（2）先求出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用2x₁²+x₁x₂-2x₂²=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+x₁•x₂=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+x₁•x₂求解即可．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁³x₂+x₁x₂³=x₁x₂（x₁²+x₂²）=x₁x₂[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]=-$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{4}$=-$\frac{13}{8}$；
（2）∵x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=$\frac{9}{4}$+2=$\frac{17}{4}$，
∴x₁-x₂=±$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴2x₁²+x₁x₂-2x₂²=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+x₁•x₂=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+x₁•x₂=2×（-$\frac{3}{2}$）（x₁-x₂）-$\frac{1}{2}$=-3（x₁-x₂）-$\frac{1}{2}$=±$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
∴2x₁²+x₁x₂-2x₂²=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{a}{b}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．