Question

在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC．

Answer 1

证明：∵∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-40°=80．
∵∠PBC=∠ABC=×60°=30°，∠PCB=∠ACB=×40°=20°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-30°-20°=130°．
在△ABC中，由正弦定理，有AB：sin∠ACB=BC：sin∠BAC．
在△PBC中，由正弦定理，有PC：sin∠PBC=BC：sin∠BPC．
∴（AB：sin∠ACB）：（PC：sin∠PBC）=（BC：sin∠BAC）：（BC：sin∠BPC），
∴（AB：PC）（sin∠PBC：sin∠ACB）=sin∠BPC：sin∠BAC，
∴（AB：PC）（sin30°：sin40°）=sin130°：sin80°，
∴AB：PC=sin40°sin130°：（sin30°sin80°），
∴AB：PC=2sin40°sin（90°+40°）：sin80°，
∴AB：PC=2sin40°cos40°：（2sin40°cos40°）=1，
∴AB=PC．
分析：根据题意先求出∠BAC和∠BPC，再根据正弦定理得出AB：sin∠ACB=BC：sin∠BAC，PC：sin∠PBC=BC：sin∠BPC．从而得出AB：PC=1．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．