Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E是AD的中点，且EB=EC．
（1）求证：ABCD是等腰梯形；
（2）若BC=4，AD=2，且EB⊥EC，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，∠ECB=∠DEC，
∴∠AEB=∠DEC
在△AEB和△DEC中，∠AEB=∠DEC，AE=DE，EB=EC∴△AEB≌△DEC
∴AB=DC，即ABCD是等腰梯形

（2）解：作EF⊥BC，垂足为F，
∵EF⊥BC，EB=EC，
∴
∴梯形ABCD的面积=×（2+4）×2=6．
分析：（1）要证明ABCD是等腰梯形，就得证AB=DC，由已知AD∥BC，EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，∠EBC=∠AEB，∠ECB=∠DEC，相继推出∠AEB=∠DEC，E是AD的中点可推出AE=DE，已知EB=EC，所以得△AEB≌△DEC，即得AB=DC，得证．
（2）先过E作作EF⊥BC，垂足为F，由EB=EC，求出EF=BC，进而求得梯形ABCD的面积．
点评：此题考查的知识点是等腰梯形的判定和全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是（1）首先由已知证△AEB≌△DEC得
AB=DC．（2）由EF⊥BC和EB=EC得出EF，再求面积．