Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点E在y轴上
理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=，
∴AO=2∴sin∠AOB=，∴∠AOB=30°
由题意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵点B在x轴上，∴点E在y轴上．

（2）过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=，OM=
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为
由（1）知EO=AO=2，点E在y轴的正半轴上
∴点E的坐标为（0，2）
∴点A的坐标为（-，1）
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点E，
∴c=2
由题意，将A（-，1），D（，）代入y=ax²+bx+2中，
得
解得
∴所求抛物线表达式为：y=-x²-x+2

（3）存在符合条件的点P，点Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面积=AB•BO=
∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知OB为此平行四边形一边，
又∵OB=
∴OB边上的高为2
依题意设点P的坐标为（m，2）
∵点P在抛物线y=-x²-x+2上
∴-m²-m+2=2
解得，m₁=0，m₂=-
∴P₁（0，2），P₂（-，2）
∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q₁（-，2），Q₂（，2）；
当点P₂的坐标为（-，2）时，点Q的坐标分别为Q₃（-，2），Q₄（，2）．
分析：（1）可连接OA，通过证∠AOE=60°，即与旋转角相同来得出OE在y轴上的结论．
（2）已知了AB，OB的长即可求出A的坐标，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的长，也就能求得E点的坐标，要想得出抛物线的解析式还少D点的坐标，可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形，根据OD的长和∠DOx的正弦和余弦值来求出D的坐标．
求出A、E、D三点坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出矩形的面积，进而可得出平行四边形OBPQ的面积．由于平行四边形中OB边的长是定值，因此可根据平行四边形的面积求出P点的纵坐标（由于P点在x轴上方，因此P的纵坐标为正数），然后将P点的纵坐标代入抛物线中可求出P点的坐标．求出P点的坐标后，将P点分别向左、向右平移OB个单位即可得出Q点的坐标，由此可得出符合条件的两个P点坐标和四个Q点坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．