Question

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，

3

），若把线段OA绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，求该函数的解析式；
（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，是否存在点P，使△OAP的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标易知∠AOx=60°，若将OA逆时针旋转120°，点A的对应点B则正好落在x轴负半轴上，易求得OA的长，即可得到OB的长，从而求出点B的坐标．
（2）已知了函数图象上三点的坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
（3）在△OAP中，OA的长是定值，若三角形的周长最小，那么AP+OP的值最小；由于O、B关于抛物线的对称轴对称，若连接AB，那么直线AB与抛物线对称轴的交点即为所求的点P，易求得直线AB的解析式，联立抛物线对称轴，即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）作AC⊥x轴于C，
∵点A（1，

3

），即OC=1，AC=

3

，
∴∠AOC=60°，OA=2；（1分）
∴点B（-2，0）．（2分）

（2）∵抛物线经过点O（0，0），
∴可设所求解析式为y=ax²+bx．
把点A、B的坐标代入上式，得：

a+b= 3 4a-2b=0

，（3分）
解得a=

3

3

，b=

2 3

3

；
∴所求解析式为y=

3

3

x²+

2 3

3

x．（4分）

（3）存在，
∵点O和B关于抛物线y=

3

3

x²+

2 3

3

x的对称轴直线x=-1对称，
∴直线AB与直线x=-1的交点即为所求点P；（5分）
把点A（1，

3

）、B（-2，0）分别代入y=kx+b，
可求得直线AB的解析式为：y=

3

3

x+

2 3

3

，（6分）
令x=-1，得y=

3

3

；
∴点P（-1，

3

3

）．（7分）

点评：此题主要考查了图形的旋转变化、直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径等知识，属于基础题，难度适中．