Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F、G、H分别从A、B、C、D向B、C、D、A同时以0.5cm/s的速度移动，设运动时间为t（s）．
（1）求证：△HAE≌△EBF；
（2）设四边形EFGH的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）画出（2）的图象，利用图象回答t为何值时，S最小，是多少？

Answer 1

（1）证明：∵E、F、G、H分别从A、B、C、D向B、C、D、A同时以0.5cm/s的速度移动，
∴AE=BF=CG=DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EB=FC=GD=HA，∠A=∠B=90°，
△HAE≌△EBF； （3分）

（2）解：依题意得DH=AE=0.5t，则AH=2-0.5t
Rt△AEH中，HE²=AH²+AE²
又由（1）△HAE≌△EBF可得∠DHG+∠AHE=90°
∴四边形HEFG是正方形
∴；（7分）

（3）解：由图象可知，当t=2时S最小，S_最小=2．（11分）
分析：（1）根据E、F、G、H四点的运动速度相等即可得到AE=BF=CG=DH，从而利用正方形的性质得到EB=FC=GD=HA，从而判断两三角形全等；
（2）首先利用正方形的定义判定四边形HEFG是正方形，用t表示出其边长，利用其面积计算方法求得其面积即可；
（3）通过观察函数的图象，找到图象的最低点即可找到其最小值．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还考查了正方形的性质，综合性较强．