Question

【题目】如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．

Answer 1

【答案】
（1）解：全等，理由如下：

当运动1秒后，则BP=CQ=3cm，

∴PC=BC﹣BP=8cm﹣3cm=5cm，

∵E为AB中点，且AB=10cm

∴BE=5cm，

∴BE=PC，

在△BPE和△CQP中

∴△BPE≌△CQP（SAS）

（2）解：∵△BPE与△CQP全等，

∴有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，

当△BEP≌△CQP时，

则BP=CP，CQ=BE=5cm，

设P点运动的时间为t秒，

则3t=8﹣3t，解得t= 秒，

∴Q点的速度=5÷ = （cm），

当△BEP≌△CPQ时，

由（1）可知t=1（秒），

∴BP=CQ=3，

∴Q点的速度=3÷1=3（cm），

即当Q点每秒运动 cm或3cm时△BEP≌△CQP

【解析】（1）经过1秒后，可得BP=CQ=3，则PC=8﹣3=5，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP=CP或BP=CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ=BE或CQ=BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．