Question

18．已知a是方程x²-5x+2=0的一个根，且0＜a＜1，则a⁴+16a^-4的值为433．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的解的定义得到a²-5a+2=0，方程两边除以a变形得a+$\frac{2}{a}$=5，两边平方可得到a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$=21，然后把此等式两边平方，变形后即可得到a⁴+16a^-4．

解答 解：∵a是方程x²-5x+2=0的一个根，
∴a²-5a+2=0，
而a≠0，
∴a-5+$\frac{2}{a}$=0，即a+$\frac{2}{a}$=5，
∴（a+$\frac{2}{a}$）²=25，即a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$=21，
∴（a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$）²=21²，
∴a⁴+$\frac{16}{{a}^{4}}$=433，
即a⁴+16a^-4=433．
故答案为433．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．灵活运用完全平方公式是解决本题的关键．