Question

已知△ABC中，AB=AC，CD交AB于点E，∠BDC=∠BAC=α，连接AD．
（1）如图1，当α=60°，CD⊥AB时，求证：AD=BD=

1

2

CD；
（2）如图2，当α=60°，CD与AB不垂直时，请猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系是

 

；（直接写出结果）
（3）如图3，当α≠60°，CD与AB不垂直时，请猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系并证明你的猜想（用含α的式子表示）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先证出AD=BD，再根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出结论；
（2）在CD上截取CF=BD，证出△ABD≌△ACF，得出AD=AF，再证出∠DAF=60°，从而得出△DAF是等边三角形，证出AD=DF，得出结论CD=AD+BD；
（3）通过截取辅助线，证明三角形全等，根据三角函数得出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵CD⊥AB
∴AE=BE，∠BEC=∠AEC=∠BED=90°，∠BCD=∠ACD=30°
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠BAC=60°
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°
∴AD=BD=

1

2

CD；
（2）CD=AD+BD；
证明：如图2，在CD上截取CF=BD，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BEC=∠BDC+∠ABD，∠BEC=∠BAC+∠ACD，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠ACD，
在△ABD和△ACF中，

BD=CF   ∠ABD=∠ACD   AB=AC

∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD=AF，∠DAB=∠FAC，
∵∠FAC+∠FAB=∠BAC=60°，
∴∠DAB+∠FAB=60°，即∠DAF=60°，
∴△DAF是等边三角形，
∴AD=DF，
∴DF+CF=AD+BD，即CD=AD+BD；
（3）证明：猜想CD=BD+2 AD sin

α

2

，
如图3，在CD上截取CF=BD，连接AF，
过点A作AG⊥CD交CD于点G，
∵∠BDC=∠BAC，∠AEC=∠BED，

∴∠ACF=∠ABD，
∵AB=AC，CF=BD，
∴△ADB≌△AFC，
∴AD=AF，∠FAC=∠DAB，
∴∠DAF=∠BAC=α，
∵AG⊥CD，
∴∠DAG=

1

2

∠DAF=

1

2

α，DG=FG=

1

2

DF，
在Rt△ADG中，sin∠DAG=

DG

AD

，
∴DG=ADsin

α

2

，
∴DF=2DG=2ADsin

α

2

，
∴CD=CF+DF=BD+2AD sin

α

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识，关键是作辅助线证明三角形全等．