Question

如图（1）所示，一次函数的图象过点A（4，0），B（0，4），M是线段AB的中点，
（1）求该一次函数的关系式；
（2）点D是直线AB上的一点，过点D分别作DE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接ME、MF、EF，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
（3）如果在（2）中，点D在线段AB上运动，其它条件不变，试求△MEF面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）本题需先设出一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0），再把A（4，0），B（0，4）代入，即可求出k、b的值，从而得出一次函数的表达式．
（2）本题需先判断出△MEF为等腰直角三角形，再根据已知条件，分两种情况进行讨论，当D在线段AB上时和D在线段AB的延长线上时，分别进行证明，从而得出答案．
（3）本题需先设出D点的坐标，从而得出则EF的值，再根据△MEF为等腰直角三角形，即可求出三角形MEF的值，从而得出S_△MEF的最小值．

解答：解：（1）设该一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0）．
将（0，4）、（4，0）代入可得

b=4 4k+b=0.

k=-1，b=4．
所以该一次函数的表达式为y=-x+4；

（2）判断：△MEF为等腰直角三角形．
证明：如图，①当D在线段AB上时
连接OM∵△AOB为直角三角形，M为AB中点，
∴OM=AM．
又∵OA=OB，
∴∠EOM=∠FAM=45°．
可证四边形OFDE为矩形，
∴DF=OE．
∵DF=AF，
∴OE=AF．
∴△MEO≌△MFA（SAS）．
∴ME=MF，∠EMO=∠FMA．
∴∠EMF=90°．
②当D在线段AB的延长线上时，
可证△MED≌△MOF（SAS）．
可得△MEF为等腰直角三角形；

（3）解：设D点的坐标为（x，-x+4），
则EF=

x2+(-x+4)2

．
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴S△MEF=

1

2

×

1

2

x2+(-x+4)2

×

x2+(-x+4)2

=

1

2

x2-2x+4
=

1

2

(x-2)2+2
∴S_△MEF的最小值为2．

点评：本题主要考查了一次函数的综合，在解题时要注意知识的综合应用以及一次函数的关系式的求法是解本题的关键．