Question

12．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．以下五个结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④BG=AF+FG；恒成立的结论有①②③④．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 ①首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；
②③利用△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，结合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，继而可得出结论；
④先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．

解答 解：等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB\\;}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（SAS），故①正确；
∵ADC≌△AEB，
∴∠1=∠3，故②∠AEG=∠CDB正确；
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形，故③正确；
过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由①可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
在△BFN和△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBN=∠FBA}\\{BF=BF}\\{∠BFN=∠BFA}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG，故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行．