Question

如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F． 试说明：EO=BE　
探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由．
探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．

Answer 1

证明：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=BE；

探究一：EF=BE+CF．
理由：∵EO=BE，
同理可证：OF=CF，
∴EF=BE+CF；

探究二：EF=BE-CF．
理由：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=BE；
同理可得：OF=CF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．
分析：由O平分∠ABC与EF∥BC，易证得∠ABO=∠EOB，即可证得EO=BE；
探究一：同上题，可得OE=BE，OF=CF，继而可证得EF=BE+CF．
探究二：同理可证得：OE=BE，OF=CF，继而可证得EF=BE-CF．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．