Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；
②AD=BD=BC；
③△BDC的周长等于AB+BC；
④DE=AE．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，可得AD=BD，即可求得∠ABD=∠A=36°，又由AB=AC，即可求得∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°，继而证得AD=BD=BC，△BDC的周长等于AB+BC．

解答 解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
即BD平分∠ABC；故①正确；
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，故②正确；
∴△BDC的周长为：BC+CD+BD=BC+C+AD=AC+BC=AB+BC；故③正确；
∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠ADE=∠BDE=54°，
∴AE≠DE．故④错误．
故选C．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．