Question

如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．

Answer 1

分析：本题可通过三角形的面积来求证，连接AP，BP，CP后，分别表示出三角形APB，BPC，APC和三角形ABC的面积，根据三角形ABC的面积等于这三个小三角形的面积和，我们将三个三角形的面积表达式相加后就会得出PE+PF+PD=AH．

解答：证明：连接AP，BP，CP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，AH⊥BC于H，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH，S_△APB=

1

2

AB•PE，S_△APC=

1

2

AC•PF，S_△BPC=

1

2

BC•PD
∵S_△ABC=S_△APB+S_△APC+S_△BPC
∴

1

2

BC•AH=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PD，且AB=BC=AC，
即PE+PF+PD=AH．

点评：本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积等知识；本题直接找线段间的关系不容易得出结论，但是通过分割面积法就容易证得，所以解题时思路要开阔，面积法求线段的关系是很重要的方法，注意掌握．